Matemática - Progressão Geométrica (PG)

 PG Crescente:  (2, 4, 8, 16, ...)   q = 2
 PG Decrescente:  (80, 20, 5, ...)  q = 1/4
 PG Constante: (3, 3, 3, 3, 3, ...)  q = 1
 PG Alternante: (-2, 4, -8, 16, ...) q = -2
 

 Encontrar a Razão (q):
 
   (30. 10, ...) 
  
   10 = 1        q = 1/3
   30    3

Atenção: A razão da PG é a multiplicação entre os termos.  Exemplo: Multiplicando 30 pela razão (q = 1/3) temos como resultado 10.  Multiplicando 10 pela razão, você encontraria o próximo termo e assim sucessivamente. 



Termo Geral da PG:

 

q = razão da PG
n = número de termos



Soma da PG Infinita:

   

Soma da PG Finita:

  

Série Geométrica Convergente:

 As somas parciais da série convergem para determinado valor.

Exemplo:

2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ...     q = 2
3    9    27   81   243                    3

Somas parciais: 

2 + 4 = 10   = 1,111
3    9     9

10 + 8  = 38  = 1,4
 9    27    27

38 + 16  = 130   = 1,6
27    81       81

130 + 32  = 422  = 1,7
81     243     243

Apenas com esses cálculos, podemos perceber que a cada soma a série se converge para 2, ou seja, as somas chegarão até 2.

Podemos fazer a "prova real" e verificar calculando a soma:

S =   a1   -->  S =   2/3    -->   S = 2/3   -->   S = 2 . 3   -->  S = 2
      1 - q               1 - 2/3                 1/3                     3   1




Como saber se é PG:

 A divisão de determinado termo pelo seu antecessor deve ser igual à divisão de outro termo pelo seu sucessor.
  Exemplo:

(-1, -3, -9, -27, ...)

-3 = 3        
-1

 -9 = 3
 -3

-27 = 3
-9 

Logo, a razão (q) é 3 e se trata de uma PG.



Média Geométrica:

Média Geométrica de 2 e 8: 

x = √2. 8  -->  x = √16  --> x = 4

Média geométrica de 2 e 8 é 4:  (2, 4, 8)

Exemplo 2:

(x - 1, x + 2, x - 2)

Média geométrica do primeiro e terceiro termo:

x+2 = √ (x-1)² . (x-2)
x² + 4x + 4 = x² - 2x - x + 2
x² + 7x = -2

x = -2
       7

Logo:

x - 1 = -2  - 1  -->   -2 - 7  -->  -9
                7                    7             7

x + 2 = -2  + 2  -->  - 2 + 14   -->  12
                   7                     7               7

Agora, encontrado os 3 termos, podemos achar a razão.

(x - 1, x + 2, x - 2)  = ( -9/7, 12/7, -2/7)

q = 12 : -9   = 12 . 7  -->   q = -4 
       7     7        7    9                     3

Por ser uma razão negativa, assim como vimos no começo do resumo, chamamos de PG Alternante.




O Resumo fica por aqui, espero que tenham gostado.
Volte quantas vezes for preciso para fixar essas fórmulas e conceitos.
Têm exercício dessa matéria, então pode pesquisar no blog "Progressão Geométrica" para fazer e ver se aprendeu o conteúdo.  Dúvidas pode perguntar.

Física 2° Fase - Eletrodinâmica #4

 Associação de Resistores e Geradores:

   Ao ouvir o nome associação de resistores, relacione com 2 ou mais resistores no mesmo circuito.
   Existem dois tipos de associação de resistores, sendo a associação em série e em paralelo.


Associação de Resistores em Série:

   Essa é uma configuração obtida quando conectamos o terminal de saída de um resistor ao terminal de entrada de outro. Deste modo é feita a associação em série deles.  Atenção, o mais importante é que nessa circunstância, é distribuída a mesma corrente elétrica para todos os resistores e ainda, a divisão da tensão em partes diretamente proporcionais a cada resistor.  Caso a corrente seja interrompida em um dos resistores, todos os outros também param de funcionar, ou seja, todos associados em série funcionam juntos e param de funcionar juntos.

   Caso os resistores estejam submetidos à mesma corrente, mas com tensão diferente, a tensão total será a soma das tensões de cada resistência.  

 U = U1 + U2 + U3... + Ux

   Assim como a tensão, a resistência também pode ser calculada a partir da soma das resistências individuais dos resistores.

Req = R1 + R2 + R3... + Rx


Associação de Resistores em Paralelo:

   Quando conectamos os terminais de dois resistores, ou mais, sujeitando todos à mesma tensão, chamamos de associação em paralelo.
   A partir do uso dessa associação, aparelhos podem ser desligados sem interferir nos demais.
   A corrente é dividida em cada ponto do nó nessa associação, logo, a corrente é diferente que passa em cada resistor.
   A corrente total pode ser calculada a partir da soma das correntes distribuídas pelas resistências.

i = i1 + i2 + i3... + ix

   Para calcular a resistência equivalente, podemos usar a seguinte fórmula:

  1   =  1  +   1   +  1  ... +  1
Req    R1    R2     R3       Rx

   No caso de a associação em paralelo tiver apenas dois resistores, a fórmula pode ser resumida:
 
R1 . R2
R1 + R2

   E ainda, caso as resistências tenham o mesmo valor, podemos usar a seguinte fórmula simplificada:

Req = R        
           n

n: Número de resistores associados
R: Valor de uma resistência
Req = Resistência Equivalente



Geradores Elétricos:

   É o elemento do circuito que fornece a energia elétrica a partir da transformação de outra forma de energia, seja ela química, radiante ou cinética.
   Veja alguns tipos de Geradores (A explicação é para questão de 2° Fase)


Pilhas e Baterias:

   A pilha funciona através de reações espontâneas de oxirredução, onde ocorre transferência de elétrons (que saem do ânodo para o cátion) e esse deslocamento gera uma corrente elétrica.
   A bateria é formada por placas chamadas de células eletroquímicas, ligadas em série. Essas placas são feitas de chumbo metálico, intercaladas por placas de chumbo revestidas de dióxido de chumbo  separadas por papelão ou plástico, além de todas as placas estarem em uma solução aquosa de ácido sulfúrico (H2SO4).  Devido a isso, ela é chamada também de bateria de chumbo-ácido.  As placas de chumbo metálico são o ânodo (polo negativo) e as de chumbo revestidas por dióxido de chumbo IV (PbO2) são o cátodo (polo positivo), que recebe os elétrons e sofrem redução. O movimento desses elétrons formam a corrente elétrica que abastece a eletricidade do carro.
 
Outros geradores:

   Fotocélulas (painel solar), Usinas Hidrelétricas, Usinas Termelétricas e Usinas Nucleares.


Gerador no Circuito:

   No circuito, o gerador pode ser representado por dois traços verticais paralelos, sendo um maior e outro menor, onde o traço menor é o polo negativo e o maior o polo positivo.  A corrente sai do polo positivo.
   Existe um elemento dentro dos geradores que dissipa energia térmica, denominado resistência elétrica interna r do gerador.
   Na posição do gerador, também existe uma grandeza igual à tensão do gerador, denominada Força Eletromotriz, ou fem, conhecida pela letra épsilon (ε).  Quando está sendo usada, ela é reduzida pela resistência r do gerador.

   Em um gerador ideal, ou seja, a tensão fornecida no circuito é igual à força eletromotriz (U = ε), a energia não seria dissipada pela resistência interna, que seria nula.  No entanto, não existem condutores perfeitos para que isso seja possível, logo só existem geradores reais, onde a tensão é menor que a força eletromotriz.  Sabendo disso, podemos estabelecer a Equação Característica do Gerador:

U = ε - r . i

U : Tensão ou D.D.P (diferença de potencial)
ε : Força Eletromotriz
r : resistência interna do gerador.
i : corrente do circuito

(Essa é uma das principais fórmulas dessa matéria!) 


   Quando o gerador está isolado ou sem operar, ele está aberto. Neste caso, a tensão é igual a força eletromotriz, pois não há corrente circulando.

U = ε

   Em uma terceira situação, pode ocorrer do gerador estar funcionando e seus terminais estarem ligados entre si. A tensão é nula, no entanto, a corrente é a maior possível, chamada de Corrente de Curto-Circuito e assim, podemos calcular a sua intensidade:

icc = ε
       r

icc : Corrente de curto circuito
r : Resistência 

Sua representação gráfica é uma reta decrescente.


Lei de Pouillet:

   Em um circuito gerador-resistor existem, além do gerador, os resistores associados a ele.
   Isolando fem da equação do gerador, temos que:

ε = U + r . i

   Sabemos ainda que a tensão total, em circuito em série, é a soma das tensões, criamos então:

ε = R1 . i + R2 . i +  r . i 

   Manipulando ainda a resistência equivalente ( Req = R1 + R2):

i =       ε
    r + Req

Esta é a Lei de Pouillet, para calcular a corrente que atravessa o gerador em um circuito.


Potência e Rendimento de Geradores:

   A potência é a taxa de conversão de energia, ou seja, trabalho ( ), pelo tempo:

P =  T  = Ui
       ∆t

   Usando mais uma vez a equação do gerador, podemos multiplicar tudo por i, para encontrar a relação das potências:

U = ε - r . i

Ui = εi - r . i²  -->  Pu = Pg - Pd

Pu = Ui é a potência total fornecida ao circuito pelo gerador.
Pg = εi é a potência total do gerador ao fazer a conversão de energia.
Pd = r . i² é a potência dissipada no gerador pela sua resistência interna r.

   Entendendo a relação das potências, podemos calcular a eficiência de um gerador, representada por η, que indica a potência efetivamente usada em razão da potência total fornecida pelo gerador:

η = Pu = U
       Pg      ε  
 
   O resultado será um valor menor que 1, geralmente expresso em porcentagem, já que a potência não será transmitida integralmente ao sistema, devida a energia dissipada pela resistência do gerador.



Associação de Geradores:

   Em uma associação em série de geradores, a força eletromotriz total é a soma das forças eletromotriz de cada gerador, assim como a resistência interna:

ε = ε1 + ε2... + εx

r = r1 + r2... + rx


   A associação em paralelo, já que há redução da resistência interna, obtemos uma quantidade de carga disponível maior para a operação do sistema, no entanto, a força eletromotriz equivalente (εeq) é constante:

εeq = ε

   Por fim, a resistência equivalente interna será igual à resistência interna individual dividida pelo número de elementos associados.

req =  r
         n




O resumo acaba por aqui!  Não deixe de ver a continuação "Eletrodinâmica #5" e, se ainda não viu, os resumos anteriores para complementar ainda mais seu conhecimento em Eletrodinâmica e arrebentar no vestibular sem tanta dificuldade!
Compartilhe com amigos e se precisar, pode perguntar!

  

 

 

Física 2° Fase - Eletrodinâmica #3

 Potência Elétrica:

    É a quantidade de energia consumida em determinado intervalo de tempo.

  P = ∆E
         ∆t

P: Potencia desenvolvida pelo dispositivo, expressa em watt (W)

∆E: Energia Consumida, expressa em joules (J)

∆t: Intervalo de tempo transcorrido, expresso em segundos (s)

Um watt equivale à transformação da energia de um joule em um segundo:

1 W = 1 J/s

Já que a relação entre potência e tempo pode ser escrita como E = P∆t, então a unidade pode ser expressa em Ws, ou kWh, que é a energia usada nos medidores de energia elétrica residenciais.

Um kWh corresponde à energia de um aparelho medida durante um intervalo de tempo de 1 hora:

1 kWh = 1000 watt . 1 hora


   Podemos também estabelecer uma relação com o consumo de energia com a corrente e potência.
   Onde a potência será proporcional à intensidade da corrente (i) e à tenção (U).  Logo temos que:

P = Ui

U: Tensão em volt (V)
i: Corrente elétrica medida em ampère (A)
P: Potência dada em watt (W)

Podemos determinar ainda uma relação entre as unidades:

1 volt = 1 watt/ampère  (1V = 1W/A)



Resistores:

   Determina ou limita o valor de corrente elétrica em certa parte do circuito e transforma a energia elétrica em mecânica ou térmica, pelo efeito joule. 
   Eles são representados pelos símbolos: 
    

  

   Representam resistores fixos, dispositivos cuja resistência não varia. Dependendo da função do aparelho, também podem ser utilizados resistores do tipo variável, que permitem alterar a potência dos aparelhos. 
  Os resistores apresentam faixas coloridas, que indicam o valor de sua resistência.  
  
  
Primeira Lei de Ohm:

  Submetendo certo condutor a uma tensão, é possível perceber que uma corrente o percorre. Se aumentar a tensão aplicada, há aumento da intensidade da corrente do campo elétrico atuando nos elétrons livres do condutor, provocando uma maior corrente elétrica.  Logo, conclui-se que, quanto maior a tensão (U), maior será a corrente elétrica (i).  Por isso dizemos que é uma relação proporcional.
Então:

U = U¹  = U²  = constante
i       i¹       i²
 
   A constante dessa razão é chamada Resistência Elétrica (R) e depende das características do material que compõe o condutor, da geometria e da temperatura. Sua unidade de medida é o Ohm (Ω). 

   Um material que obedece essa lei é denominado Resistor Ôhmico, sendo que sua principal característica é a resistência constante, independente da tensão aplicada.
   Em um gráfico com linha reta ascendente, com i e U definidos, pode-se encontrar a resistência da seguinte forma:

R = U
       i

  Essa mesma fórmula, rearranjada de forma linear é denominada Primeira Lei de Ohm:

U = Ri

U: Tensão em volt (V)
i: corrente elétrica em ampère (A)
R: resistência medida em ohm (Ω)

   Em um gráfico onde o condutor não apresenta relação linear e constante entre as grandezas U e i, trata-se de um Resistores Não-Ôhmicos, que não obedecem a Primeira Lei de Ohm e podemos perceber que conforme a tensão aumenta, a resistência aumenta.

Segunda Lei de Ohm:

   Analisando a condução elétrica dos metais, Ohm concluiu que as características geométricas influenciam diretamente na resistência do condutor: O comprimento L e a espessura, ou seja, a área de secção transversal A, são elementos fundamentais. As características do próprio material também são importantes é claro.
  Resistividade Elétrica: Indicada pela letra grega ρ, medida em Ω . m (ohm vezes metro).
  Com isso, podemos desenvolver a Segunda Lei de Ohm

R = ρ L
         A

ρ: Resistividade Elétrica do material medida em Ohm . metro ( Ω . m)
L: Comprimento do condutor em metro (m)
A: Área da secção transversal do condutor em metro quadrado (m²)
R: Resistência elétrica medida em Ohm ( Ω )

Potência Elétrica Dissipada:
   A corrente elétrica depende da tensão aplicada ao condutor. Logo, se um trecho de um circuito elétrico submetido a uma tensão U passa por uma corrente elétrica i, a potência desenvolvida pode ser expressa por:   P = Ui

   No entanto, se nesse trecho houver um resistor de resistência elétrica R, a energia elétrica será dissipada como calor, ou seja, o efeito joule.  Por isso, substituímos a primeira lei de Ohm ( U = Ri) na fórmula da Potência ( P = Ui):

P = Ri²

   E ainda, se a tensão U for constante, podemos também obter outra fórmula que relaciona diretamente potência, tensão e resistência:
  
P = U²
       R



                                                       Exercícios:
O resumo fica por aqui, não deixe de ver o resumo #4 de eletrodinâmica e como sempre, faça os exercícios desse tema para fixar!  Até a próxima.